准备好拜倒在
本女皇的裙下了吗？
今日，小天说起数学女皇时，超模君觉得显摆的时分到了，“不便是数论嘛！”，顺手翻开身旁一本书——《数论妙趣》！！！
来来来，一窥数学女皇的真容
说起数论，这是一个很奇特的学科——由于它的内在会因不同的人而变得简略或杂乱。
关于小学生而言，数论便是整数、小数、分数和加减乘除，了解起来不费吹灰之力。
关于数学我们们而言，数论却是比如费马定理、哥德巴赫猜测、黎曼猜测等杂乱而奥秘的问题。一个不小心，到死也不知道答案。
那么，数论究竟是怎样开展起来的呢？别着急，拿好小本本，待超模君给我们一一道来！
数论的来源，要追溯到古希腊时期。那时人们在具有“数”的概念之后，自但是然地就会接触到一些“数”的性质。而第一个研讨这些“数”的性质的学者，是古希腊一位闻名的哲学家——毕达哥拉斯。
毕达哥拉斯：生得早便是好，什么事情都先讲我
毕达哥拉斯和他的学派秉承着“万物皆数”的哲学思维，为了研讨眼前的国际，他们精力都放到了对正整数的研讨上。（留意，毕达哥拉斯所指的“数”，只限于正整数）
他们将正整数分为奇数和偶数，研讨了奇偶数之间四则运算的规则，还提出了“亲和数”、“彻底数”等概念，并给出了“220”和“284”这对亲和数。
所谓的“亲和数”，是指一对正整数，它们各自的悉数约数之和（自身在外）与对方持平。毕达哥拉斯曾说：“朋友是你魂灵的倩影，要像220与284相同密切。”
至于“彻底数”，则是指一个正整数，它的悉数约数之和（自身在外）等于它自身。第一个彻底数是6，第二个彻底数是28，第三个彻底数是496。
可是毕达哥拉斯对正整数的研讨，还出于占卜等宗教活动的需求，因而具有较为稠密的宗教奥秘色彩，没有严厉的概念界说和数学证明——不过这个缺陷，在后人的作品中得到了补偿。
欧几里得是毕达哥拉斯之后，把对正整数的研讨持续往前推动的古希腊学者。
欧几里得：效果烂摊子仍是要我来拾掇……
在自己的作品《几许本来》中，欧几里得初次给出了因数、倍数、素数、互素等基本概念的准确界说，并对所得到的定论进行了详细的证明，从而使数论的研讨紧密化。
《几许本来》中，欧几里得提出了一些很重要的量化定理，比如说“彻底数定理”：
假如2^n-1是素数，那么2^（n-1）·（2^n-1）是彻底数。
后来的数学家欧拉证明了这个定理，并且据此给出了一切的偶彻底数。
当然，欧几里得对数论的奉献并不止使数论的研讨紧密化，还有发现素数在整数理论中的重要价值和根底位置。他不只证明了关于自然数和素数之间的积性关系，还运用归谬法证明了素数个数的无量性，提出了核算最大公约数的算法——曲折相除法。
曲折相除法：设两数为a、b(a≥b)，求a和b最大公约数 （a，b）的过程如下：
(1)用a除以b(a≥b)，得 a/b=q……r1 。
(2)若 r1=0，则（a，b）=b；
(3)若 r1不等于0，则再用b除以 r1,：b/r1=q……r2。
(4)若 r2=0，则 （a，b）=r1；若 r2不等于0，则持续用 r1除以 r2，......，如此下去，直到能整除停止。其最终一个余数为0的除数即为 （a，b） 的最大公约数。
欧几里得的研讨，形成了初等数论的雏形，一起也提出了一个贯穿初等数论的出题：素数的遍及公式——一起，这个出题也直接催生了解析数论。
现在，让我们的目光持续跟着时刻来走吧。在欧几里得之后，另一位数学家丢番图，为初等数论开辟了一片新范畴——不定方程问题。
所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数遭到某些约束（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。丢番图将自己的研讨写成了一本书——《算术》，而这本书也敞开了中世纪的初等数论研讨。
值得一提的是，在丢番图提出不定方程问题的一起期，我国也发掘了数论的另一个范畴——同余理论。《孙子算经》里边记载的“物不知数”问题，就触及到了同余理论的研讨。而宋朝秦九韶所提出的“大衍求一术”，则是比后来的高斯早了几百年，提出了详细且齐备的求一次同余式组的办法。
所以说，我国古代在数论的研讨上，也是光辉一时啊。
好了，让我们的视野再回到欧洲。在丢番图之后，初等数论研讨的大旗，就传到了一位“业余”的数学家——费马的手上。（怎样又是您老人家……）
费马：真是不好意思，兴趣爱好广泛便是这样的
费马关于初等数论的研讨兼有欧几里得和丢番图的影子。他终身提出了五花八门的定（cai）理（xiang），最闻名的莫过于“费马巨细定理”：
费马小定理：假如p是素数，a与p互素，那么a^p-a能够被p整除。
费马大定理：方程x^n+y^n=z^n关于恣意大于2的自然数n无整数解。
这两个定理皆是在费马阅览丢番图的《算术》时所提出的，尤其是费马大定理，基本上连续了丢番图从不定方程来开展数论的思维。可是费马的其他猜测，却也有欧几里得的影子，如他给出的“费马数”（一种“素数的遍及公式”）：
与欧几里得对“彻底数定理”的描绘极为相似。能够说，初等数论在费马手里，隐约表现出一种成为一个体系的趋势。
但惋惜的是，这种趋势并未成为实际。费马之后的欧拉，虽然推翻了“费马数”的定论（“费马数”即为素数的遍及公式），证明了费马小定理的正确性，并在《代数攻略》中运用“无限下降法”，使之成为数论研讨中很重要的办法技巧之一，却仍旧未能将许多理论一致起来，使初等数论成为一个齐备的理论体系。
在18世纪快要完毕的时分，数学家们发现，初等数论的研讨好像现已走到了止境：整数数域的性质现已被研讨得差不多了，接下来该怎样办？
一位天才的呈现，让数论的研讨从死胡同中走了出来，他便是德国的数学王子——高斯。
高斯：总算轮到我进场了
而让高斯带领数论走出“死胡同”的，是他关于“二次互反律”的研讨。
二次互反律，是一个用于判别二次剩下，即二次同余方程之整数解的存在性的规律。
高斯十分赏识这个规律，他终身中至少给这个规律作了8种彻底不同的证明，并且企图将它推行到三次和四次互反律。
可是经过研讨后，高斯发现，假如要使三次和四次的剩下理论和二次剩下理论那样简练美丽，里边所触及到的数就必须超出整数的规模，引进复整数（即形如a+bi，其间a、b均为整数的复数）。
经过一番考虑与研讨之后，高斯决定将复整数引进到数论的研讨傍边，并且惊讶地发现，一些初等数论里边的定理，在复整数中仍旧建立。如在初等数论中，每一个整数都能够仅有地分解为素因子的乘积，这个定理仍旧在复整数中建立。
如此一来，高斯打破了初等数论的窘境，将数论带到了一个更宽广的六合——复整数中来。
在高斯之后，库默尔和戴德金将高斯的研讨效果成功地推行为一个全新的数论——代数数论。
库默尔
戴德金
在代数数论中，研讨的目标从正整数变成了代数整数。关于一个数是不是代数整数，代数数论是这样界说的：
假如α是一个有理数多项式：的根，则称α为一个代数数。若P(x)的系数都是整数，则称α为一个代数整数。
除掉代数整数，代数数论的研讨目标还有代数数域。
关于代数数论是怎样详细研讨的，超模君就不打开讲了，不过模友们需求了解的一点是：直到1898年，德国数学家希尔伯特在对各代数数域的性质加以体系总结和开展后，前后经过了百多年的韶光，经典代数数论才真实定型。
比较起初等数论，代数数论无疑包括更广，并且体系性更强，这是代数数论工作者们最值得骄傲和被称誉的当地。
假如说代数数论是数论广度的一个拓宽的话，那么解析数论能够说是关于数论研讨办法的一次改造了。
解析数论的源头，能够上溯到欧拉。
欧拉：总算能够露脸了
早在1737年的时分，欧拉在研讨无量级数和无量乘积的收敛性时，发现关于大于1的实数s，有等式：
其间无量乘积中p是一切素数，这个等式提醒了素数p和自然数n之间的积性关系，也便是欧几里得所从前证明过的，并且假如令s=1，则能够得出素数是无限多个的定论。这是数论第一次与解析方式相关联起来的比如。
在欧拉之后，狄利克雷也做出了相相似的效果。他运用相似的办法，构建了一批新函数L，从它们的解析特性中，得到了这样的效果：若l与k为互素的正整数，则算术级数l，l+k，l+2k……中一定有无限多个素数。
在欧拉和狄利克雷为解析数论打好根底今后，1859年，有一个人宣布了一篇文章，正式宣告解析数论的创建。
这个人，便是黎曼。
在这篇论文中，他把欧拉恒等式的右边记作，并将其看做复变数。他以为，素数的性质能够经过复变函数来讨论，如素数的散布研讨关键是研讨复变函数的零点性质。而现在仍旧没有解决的“黎曼猜测”，便是对复变函数零点性质的一个猜测——一切的复零点都在直线Re s=1/2上。
黎曼的论文，让解析数论开端了迅猛的开展。1896年，阿达马和瓦莱普桑，依据黎曼的办法与效果，使用整函数理论，成功地证明了素数定理，让解析数论成为了二十世纪最活泼的数论分支之一。
整函数，即在整个复平面上处处解析的函数。
解析数论在我国的开展也是极为迅猛。从最早的杨武之先生，到后来的华罗庚先生，王元先生以及陈景润先生，都在解析数论上有十分杰出的奉献。单讲陈景润先生，他关于的证明，便是运用解析数论的办法来完结的，是现在国际上最好的证明效果。
解析数论的创建，让许多初等数论中很难证明的定理变得简略，一起能够提出更多新的数论问题，让数论这门学科的生命力得以连续。
好了，这便是有关数论前史的大体概括了。不得不说，想在短短的一篇推送里塞下整个数论的前史，几乎便是胡思乱想……（但是仍是做到……了？）
不过数论自身仍是很精彩的，套用一句高斯的话：“假如说数学是科学的女皇，那么数论便是数学中的女皇”。我们无妨花点心思，来领会一下数论女皇的绝美身姿吧！
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